일단 직사각형의 넓이에 영향을 미치는 요소부터 찾아보자.
이미 직사각형의 넓이를 계산하는 방법을 알고 있을 겁니다. 하지만 여기서는 그 사실을 잊어버리기 바랍니다. 그럼 일단 그림과 같은 직사각형이 있다고 해보죠.
일단 약자부터 정해보겠습니다. 가로 길이의 약자는 width의 약자 w로 하겠습니다. 세로 길이의 약자는 height의 약자 h로 정하겠습니다. 이 직사각형의 가로 길이 w를 늘리면 어떻게 될까요?
아마 직사각형의 넓이도 커지겠죠? 자 그럼 반대로 가로 길이 w를 줄이면 어떻게 될까요?
반대로 직사각형의 넓이도 줄어들겁니다. 세로 길이 h를 바꿔도 마찬가지겠죠? 지금까지의 사실을 정리해보면 다음과 같을 겁니다.
- 직사각형의 넓이는 직사각형의 가로 길이와 세로 길이와 연관되어 있다. 하지만 아직 어떤 관계인지는 명확하게 알지 못한다.
방금 정리한 내용을 식으로 만들면 어떻게 될까요? 일단 넓이를 의미하는 약자를 정해야겠죠? 넓이의 약자는 Area의 약자 A로 정하겠습니다. 그렇다면 일단 다음과 같이 만들 수 있습니다.
이 수식의 의미는 다음과 같습니다.
- 직사각형의 면적 A는 가로 길이 w와 세로 길이 h에 의해 결정된다. 다만 어떻게 결정되는 지는 모르겠다.
자 그런데 우리가 만든 식이 이전에 우리가 다루었던 함수와 비슷한 모습을 하고 있습니다. 어쩌면 당연할 수 있는 것이 현재 우리가 아는 수학 개념은 사칙연산 빼면 함수밖에 없으니까요. 면적에 대한 식은 ‘가로 길이와 세로 길이를 입력하면 직사각형의 넓이가 출력되는 함수’로 인식해도 무방합니다.
이제 직사각형의 가로의 길이를 두 배로 늘려보자.
지금 현재 직사각형의 넓이에 대해 알고 있는 사실은 가로 길이나 세로 길이가 변하면 직사각형 넓이도 변한다는 것입니다. 가로, 세로 길이 둘 다 바꾸면 복잡해지니까 가로 길이만 바꿔보겠습니다. 가로길이 w만 두 배로 늘리면 직사각형의 넓이는 어떻게 될까요?
위 그림을 살펴보면 원래의 직사각형이 두 개가 생깁니다. 우리가 직사각형의 넓이를 구하는 방법은 모르지만 직관적으로 넓이가 두 배로 늘어난다는 것은 알 수 있습니다. 이 그림을 식으로 표현한다면 다음과 같습니다.
자 그럼 이제 반대로 가로길이 w는 그대로 놔두고, 세로길이 h만 두 배로 늘려보겠습니다.
위 그림을 살펴보면 동일하게 원래의 직사각형이 두 개가 생깁니다. 이 그림을 식으로 표현하면 다음과 같겠죠?
만일 가로 길이 w를 2배가 아니라 3배, 4배로 늘리면 어떻게 될까요? 그림을 그려보세요. 아마 늘어난 길이의 비율대로 넓이도 늘어날 겁니다. 즉, 가로길이를 3배 늘리면 넓이도 3배 늘어나고, 가로길이를 4배 늘리면 넓이도 4배로 늘어날 겁니다. 만일 가로 길이 w를 n배 늘리면 직사각형의 넓이도 n배 늘어날 겁니다. 여기서 n은 꼭 자연수일 필요는 없습니다. 가로 길이 w를 1.5배 늘리면, 직사각형의 넓이도 1.5배 늘어나야 합니다. 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같은 식으로 요약할 수 있습니다.
세로의 길이 h를 늘려도 마찬가지입니다. 이 내용도 요약하면 다음과 같은 식이 되겠죠?
지금 정리한 두 식을 살펴보면 무슨 생각이 드나요? 직사각형의 넓이를 구하는 함수에 넣어주는 수는 무엇이 되었든지 밖으로 꺼낼 수 있다는 생각이 들지 않나요? 그렇다면 직사각형의 가로 길이 w와 세로 길이 h도 결국 수이니까 밖으로 꺼낼 수 있지 않을까요? w는 w x 1이고 h는 h x 1이니까 직사각형의 넓이를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
이 식을 살펴보면, 직사각형의 넓이는 가로 길이와 세로 길이를 곱하면 된다는 의미입니다. 그런데 눈에 거슬리는 것이 있습니다. 바로 A(1, 1)이죠. 이것은 가로 길이 1, 세로 길이가 1인 직사각형의 넓이라는 의미이죠. 이것은 어떻게 할까요? 이것은 직사각형 넓이의 기본 단위로 생각해볼 수 있습니다. 직사각형의 길이 단위가 미터이면 A(1, 1)는 1제곱미터라는 넓이의 단위가 됩니다. 이렇게 하면 위 식은 직사각형의 길이 단위에 관계없이 사용할 수 있게 됩니다.