함수를 간결하고 명확하게 표현해보자!
일단 곱하기 2 함수를 좀 더 짧고 간결하게 표현해보도록 하겠습니다.
- 함수에 ○를 넣으면 2 X ○가 나온다.
위의 설명 ‘함수에 수를 하나 집어넣으면 2를 곱한 수가 나온다.’와 비교하면 어떤가요? 조금은 더 눈에 잘 들어오나요?
하지만 여전히 길어서 쓰기 귀찮습니다. 좀 더 줄여보도록 하겠습니다.
이건 어떤가요? 이제 쓰기 편해진 것 같습니다. ‘○를 넣으면 2 X ○가 나온다’라는 뜻도 대충 통하는 거 같죠?
이전에 우리가 만든 함수들을 모두 같은 방식으로 다시 표기해보겠습니다.
자 이제 간결해졌습니다. 원래 수식이라는 것은 수학자들이 좀 더 쉽게 표기하기 위해 만들어낸 것입니다. 실제로 고대에는 방정식을 앞에서 표기한 것처럼 일일이 말로 표현했습니다. 수학자들도 우리와 같은 사람이니까 귀찮은 것은 마찬가지겠죠? 또 하나의 좋은 점은 모든 수에 대해 적용할 수 있다는 점이죠. 수많은 사례들을 단 한 줄로 압축시킬 수 있습니다.
우리만의 수학 기호를 정의하자!
그런데 하나 거슬리는 것이 있습니다. 바로 제곱 함수입니다. 같은 수를 두 번 곱하는 것은 괜찮은데 만일 여러 번 곱해야 한다면 어떻게 해야 할까요? 이것도 너무 귀찮겠죠? 새로운 표기법이 필요할 것 같습니다. 이제 여러 번 곱하는 표기법을 다음과 같이 정하도록 하겠습니다.
물론 여러분들은 다른 표기법을 만들어서 사용해도 상관없습니다. 왜냐하면 정하기 나름이니까요. 우리가 정한 표기법은 이해할 필요도 없습니다. 왜냐하면 그렇게 쓰겠다고 정한 것뿐이니까요. 이것을 정의라고 합니다. 수학에서 정의는 자신이 그렇게 의미를 정하겠다는 것일 뿐입니다. 때문에 의미를 이해할 필요도 증명할 필요도 없습니다. 그렇게 사용하겠다는 선언일 뿐이니까요.
수식에 문자 사용하기
우리가 만든 수식을 보면 ○이 무엇을 의미하는지 한눈에 알아보기 힘듭니다. 보는 사람에게 정보를 주면서 길이도 축약할 수 있는 방법이 없을까요? 이러한 고민 끝에 나온 것이 수식에 문자를 사용하는 것이었습니다. 우리도 수식에 문자를 사용해 볼까요? 일단 우리의 수식에 필요한 문자는 몇 개일까요? 일단 우리가 입력하는 수, 결과물로 나오는 수, 그리고 함수의 이름… 당장 생각나는 것은 이것들이네요.
우선 함수 이름부터 정해볼까요? 함수의 이름은 function입니다. 이 정보를 잊어버리지 않도록 앞글자를 따서 F를 함수의 이름으로 하는 것은 어떨까요? 일단 저는 이걸 사용하겠습니다. 그런데 여러 함수를 사용할 수도 있으니 함수 이름을 구분할 수 있도록 F에 여러 표시를 할 수도 있습니다.
이젠 입력하는 값을 정해보죠. 무엇이 좋을까요? 뭐 사실 수식을 만드는 사람이 정하기 나름입니다. 본인이 알아보기 쉽도록 말이죠. 값(value)를 의미하는 v도 괜찮을테고, 숫자(number)를 의미하는 n도 괜찮을 것 같습니다. 아니면 무엇인가(something)을 의미하는 s도 괜찮을 것 같습니다. 일단 저는 s를 선택하겠습니다.
이제 출력하는 값을 정하겠습니다. 출력(output)을 의미하는 O를 선택할까요? 하지만 더 좋은 방법이 있습니다. 입력 값을 함수에 넣어서 나온 값이라는 의미로 F(s)라고 하는 것은 어떨까요? 이렇게 하면 또다른 약자를 만들지 않아도 됩니다.
자 그러면 수식을 다시 문자를 이용해서 표현해봅시다.
마지막 제곱 함수를 다시 봅시다.
이 수식을 보면 등호(=)의 왼쪽과 오른쪽 모두 함수의 출력을 표현하고 있습니다. 왼쪽은 함수의 출력에 우리가 직접 만들어서 붙여준 이름입니다. 그리고 오른쪽은 함수에 우리가 값을 넣었을 때 어떻게 출력이 될지 알려주고 있습니다. 즉, 왼쪽은 함수의 이름을 오른쪽은 함수의 동작 방식을 이야기하고 있습니다. 이렇게 중복해서 표현하는 이유는 사람을 소개할 때와 동일합니다. 우리가 누군가를 소개할 때는 먼저 이름을 이야기하고 그 다음에 그 사람이 누구인지에 대해 설명합니다. 함수에 대한 수식도 결국에는 함수에 대해 사람들에게 소개를 하는 것과 마찬가지입니다. 함수의 이름을 알려주고, 이 함수가 무엇이고 어떻게 동작하는지를 소개하는 것이지요. 위 제곱 함수의 수식은 결국 다음과 같습니다.
- 함수의 이름은 F(s)이고 이 함수는 2를 입력하면 4가 나온다.